题目内容

如图，将边长为4的等边△AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=
k
x
（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，连结EF、OF．
（1）若S△OBF=
4
5
3
，求反比例函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，过点N（-
2
5
，0）作直线NM平行于y轴，以点E为圆心，EA长为半径的圆与直线NM交于点Q，与EF交于点P，求证直线NM与⊙E相切；
（3）连接AQ、PQ，在（1）的条件下，求∠AQP的度数．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）首先过点F作FM⊥OB于点M，由△AOB是边长为4的等边三角形，S△OBF=
4
5
3
，可求得FM的长，再由三角函数，即可求得点F的坐标，继而利用待定系数法求得反比例函数的表达式；
（2）首先过点E作EG⊥OB于点G，过点E作EH⊥NQ于点H，设点E（x，
3
x），继而求得点E的坐标，则可求得AE的长，继而可证得AE=EH，证得直线NM与⊙E相切；
（3）首先利用勾股定理的逆定理证得△AEF是直角三角形，然后利用圆周角定理，求得∠AQP的度数．
解答：解：（1）如图1，过点F作FM⊥OB于点M，
∵△AOB是边长为4的等边三角形，
∴OB=OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠OAB=60°，
∵S△OBF=
4
5
3
，
∴
1
2
OB•FM=
1
2
×4×FM=
4
5
3
，
解得：FM=
2
5
3
，
∴BM=
FM
tan∠ABO
=
2
5
3
÷
3
=
2
5
，
∴AM=AB-BM=4-
2
5
=
18
5
，
∴点F（
18
5
，
2
5
3
），
∴k=xy=
18
5
×
2
5
3
=
36
3
25
，
∴反比例函数的表达式为：y=
36
3
25x
；

（2）如图2，过点E作EG⊥OB于点G，过点E作EH⊥NQ于点H，
设点E（x，
3
x），
∵过点F的反比例函数y=
36
3
25x
（x＞0）与OA边交于点E，
∴
3
x=
36
3
25x
，
解得：x=
6
5
，
∴点E（
6
5
，
6
3
5
），
∴OE=2OG=
12
5
，
∴AE=4-OE=4-
12
5
=
8
5
，
∵过点N（-
2
5
，0）作直线NM平行于y轴，
∴EH=
2
5
+
6
5
=
8
5
，
∴EH=AE，
∴直线NM与⊙E相切．

（3）∵BF=2BM=
4
5
，
∴AF=AB-BF=4-
4
5
=
16
5
，
∵点E（
6
5
，
6
3
5
），点F（
18
5
，
2
5
3
），
∴EF2=（
18
5
-
6
5
）2+（
2
5
3
-
6
5
3
）2=
192
25
，
∵AE=
8
5
，
∴AE2+EF2=AF2，
∴∠AEP=90°，
∴∠AQP=
1
2
∠AEP=45°．
点评：此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、切线的判定以及勾股定理的逆定理等知识．此题难度较大，综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
不等式组
3x-2＜x
1
4
x≤1
的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A、
B、
C、
D、
中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处．
（1）如图，若“帅”所在点的坐标为（1，-1），“马”所在的点的坐标为（-2，-1），则“相”所在点的坐标为
 
；
（2）若“马”的位置在C点（2，2）处，为了到达D点（4，0）处，请按“马”走的规则，写出一条你认为合理的行走路线：（只需填写如下坐标即可）C（2，2）?P（
 
，
 
）?Q（
 
，
 
）?M（
 
，
 
）?D（4，0）．
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
将下面的证明过程补充完整，括号内写上相应理由或依据：
已知，如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠B+∠BDG=180°，试说明∠BEF=∠CDG．
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知）
∴∠BFE=∠BDC=90°（
 
）
∴EF∥
 
 （
 
）
∴∠BEF=
 
（
 
）
又∵∠B+∠BDG=180°（已知）
∴BC∥
 
 （
 
）
∴∠CDG=
 
（
 
）
∴∠CDG=∠BEF（
 
）
解下列方程组．
（1）
3(y-2)=x+1
2(x-1)=5y-8
；         
（2）
4x-15y-17=0
6x-25y-23=0
；
（3）
3x-2y
6
-
2x+3y
7
=1
3x-2y
6
+
2x+3y
7
=5
；             
（4）
2x-1
5
+
3y-2
4
=2
3x+1
5
-
3y+2
4
=0
．
解不等式：4x-3＞x+6，并把解集在数轴上表示出来．
2013年4月23日是第18个世界读书日，《南山教育》记者就南山区中小学教师阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了教师每年阅读书籍数量的统计图（不完整），设x表示阅读书籍的数量（x为正整数，单位：本），其中A：1≤x≤3，B：4≤x≤6，C：7≤x≤9，D：x≥10．请你根据两幅图提供的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了多少名教师？
（2）补全条形统计图．
（3）计算扇形统计图中扇形D的圆心角的度数．
（4）若南山区中小学教师共有6000人，则一年读书不少于10本的教师约有多少人？
小明做了一道因式分解题：x2y-2xy2+y2=y（x2-2xy+y2）=y（x-y）2，他用到的分解因式的方法是
 
（写出两个）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网