Question

如图所示，已知AD，AE分别是△ABC和△ADC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．

Answer 1

考点：三角形的角平分线、中线和高,三角形的面积

专题：

分析：（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，易求其值．

解答：解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AD，
∴AD=

AB•AC

BC

=

6×8

10

=4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；

（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×6×8=24（cm²）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴

1

2

BE•AD=

1

2

EC•AD，即S_△ABE=S_△AEC，
∴S_△ABE=

1

2

S_△ABC=12（cm²）．
∴△ABE的面积是12cm²．

（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．

点评：本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．