Question

20．如图，已知正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，若点P经过的路程为x，△APE的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当点P运动路程为多少时，△APE的面积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）分别从0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤2.5去分析求解即可求得答案；
（2）分别从0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤2.5时，y=$\frac{1}{3}$，去求解即可求得答案．

解答 解：（1）①当0≤x≤1时，AP=x，AD=1，则y=$\frac{1}{2}$×x×1=$\frac{1}{2}$x；
②如图（2），当1＜x≤2时，BP=x-1，CP=2-x，
∴y=S_梯形ABCE-S_△ABP-S_△CPE=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+1）×1-$\frac{1}{2}$×1×（x-1）-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（2-x）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$x；
③如图（3），当2＜x≤2.5时，EP=2.5-x，
∴y=$\frac{1}{2}$×（2.5-x）×1=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$x；

（2）①当0≤x≤1时，$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{3}$，
解得：x=$\frac{2}{3}$；
②当1＜x≤2时，$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$x=$\frac{1}{3}$，
解得：x=$\frac{5}{3}$；
③当2＜x≤2.5时，$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{3}$，
解得：x=$\frac{11}{6}$（舍去）；
综上：当点P运动路程为$\frac{2}{3}$或$\frac{5}{3}$时，△APE的面积为$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了正方形的性质以及三角形的面积问题．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．