Question

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，联结BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）当∠ADF=∠BDF时，求证：BD•BC=2BE²．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF=BD，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到?ADBF是菱形，根据菱形的性质得到AB⊥DF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠BDE，
在△AEF与△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠BDE}\\{∠AEF=∠BED}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BED，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形；
（2）解：∵∠ADF=∠BDF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
∴?ADBF是菱形，
∴AB⊥DF，
∴∠C=∠BED=90°，
∵∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
∵AB=2BE，
∴BD•BC=2BE²．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．