Question

13．如图，直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，P为斜边AB上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，则线段EF长度的最小值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．

解答 解：连接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；
又∵∠ACB=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•PC，
∴PC=$\frac{12}{5}$．
∴线段EF长的最小值为$\frac{12}{5}$；
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．