Question

20．已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x₁，x₂，若x₁²+x₂²=12，则m的值为-5或1．

Answer 1

分析 根据方程的系数结合根的判别式△=（m+1）²+4＞0，即可得出：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．再根据根与系数的关系结合x₁²+x₂²=12，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m值．

解答 解：∵在方程x²+（m+3）x+m+1=0中，△=（m+3）²-4（m+1）=m²+2m+5=（m+1）²+4＞0，
∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
∵关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-m-3，x₁•x₂=m+1，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=（-m-3）²-2（m+1）=12，即m²+4m-5=0，
解得：m₁=-5，m₂=1．
故答案为：-5或1．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，根据根与系数的关系结合x₁²+x₂²=12列出关于m的一元二次方程是解题的关键．