题目内容
13．在△ABC中，BC=8，高AH为4，△DEF在△ABC内，三个顶点D、E、F分别在BC、AB和AC上，且点D与点A在直线EF的异侧，我们称△DEF为△ABC的内接三角形．（1）如图1，当△DEF∽△ABC，且EF=3时，求△DEF的面积；
（2）如图2，在△ABC的内接△DEF中，DE=DF，∠EDF=90°，且EF∥BC，EF与AH交于G点，求△DEF的面积；
（3）如图3，在△ABC的内接三角形DEF中，DE=DF，且EF∥BC，EF与AH交于G点，求等腰△DEF面积的最大值．
分析 （1）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△DEF的面积；
（2）作DP⊥EF于P，设EF=x，由EF∥BC，得到成比例线段，代入求出x的值，根据三角形的面积公式求出△DEF的面积；
（3）设EF=a，根据相似三角形的性质用a表示出△DEF的高PD，列出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值．
解答 
解：（1）∵BC=8，高AH为4，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×8×4=16，
∵△DEF∽△ABC，
∴$\frac{△DEF的面积}{△ABC的面积}$=（$\frac{EF}{BC}$）2，
∴△DEF的面积为：$\frac{9}{4}$；
（2）如图2，作DP⊥EF于P，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴PD=$\frac{1}{2}$EF，
由题意可知，四边形PDHG为矩形，∴PD=GH，
设EF=x，则PD=GH=$\frac{1}{2}$x，
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AH}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{4-\frac{1}{2}x}{4}$，
解得，x=4，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$×EF×PD=4；
（3）如图2，设EF=a，
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AG}{AH}$，即$\frac{a}{8}$=$\frac{4-GH}{4}$，
解得，GH=4-$\frac{1}{2}$a，
∵PD=GH，
∴△DEF面积=$\frac{1}{2}$×a×（4-$\frac{1}{2}$a）=-$\frac{1}{2}$（a-4）2+4，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴等腰△DEF面积的最大值为4．
点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质以及矩形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
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下面是某同学给出一种证法，请你将解答中缺少的条件、结论或证明理由补充完整：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，D是边BC延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D，设CE=x，CD=y．