Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点M，点N同时由A，C两点出发分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，他们的速度都是1m/s．
（1）几秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的

1

3

？
（2）△MBN的面积能否为25cm²，为什么？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）可设x秒后，S_△MBN=

1

3

S_△ABC，而此时AM=CN=xm，BM=（8-x）m，BN=（6-x）m，S_△MBN=

1

2

×BM×BN，S_△ABC=

1

2

×8×6，进而可列出方程，求出答案；
（2）可设y秒后，S_△MBN=25cm²，而此时AM=CN=ym，BM=（8-y）m，BN=（6-y）m，S_△MBN=

1

2

×BM×BN，S_△ABC=

1

2

×8×6，进而可列出方程，求出答案．

解答：解：（1）设x秒后，S_△MBN=

1

3

S_△ABC，
由题意得（8-x）×（6-x）×

1

2

=

1

3

×

1

2

×6×8，
即x²-14x+32=0，
解得x₁=7+

17

，x₂=7-

17

，
∵BC=6米，
∴0≤x≤6，
∴x₁=7+

17

不合题意，舍去，
答：当7-

17

秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的

1

3

；
（2）设y秒后，S_△MBN=25cm²，
由题意得（8-y）×（6-y）×

1

2

=25，
即y²-14x-2=0，
解得y₁=7+

51

，y₂=7-

51

，
∵BC=6米，
∴0≤y≤6，
∴y₁=7+

51

，y₂=7-

51

不合题意，舍去．
答：△MBN的面积不能否为25cm²．

点评：考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，通常这类问题可转化为一元二次方程求解，但应注意考虑解的合理性，即考虑解的取舍．