Question

15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD相交于点E，∠ADB=∠ACB．
求证：AD²=AE•AC．

Answer 1

分析 由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠ABD=∠ACB，再由一对公共角，得到三角形BAE与三角形CAB相似，由相似得比例，等量代换即可得证．

解答 证明：∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，即AB²=AC•AE，
∵AB=AD，
∴AD²=AC•AE；

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．