Question

10．在等边三角形ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．
（1）用t分别表示BP及BQ的长度，BP=（9-2t）cm，BQ=5tcm；
（2）经过几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；
（2）由等边三角形的性质可知BQ=BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．

解答 解：
（1）∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB=9cm，
∴BP=BC-BQ=9-2t，BQ=5t，
故答案为：（9-2t）；5t；

（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ=BP，即9-2t=5t，解得t=$\frac{9}{7}$，
∴当t=$\frac{9}{7}$s时，△PBQ为等边三角形；

（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得5t-2t=18，解得t=6，
即6s时，两点第一次相遇．
当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
∴两点在AB上第一次相遇．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．