Question

19．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图①，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断△DAB与△EBC是否相似：是（填“是”或“否”）；
（2）如图②，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，则△ABC的三分线的长为$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
（2）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE=AD=x，BD=CD=y，得出方程组，解方程组即可．

解答 解：（1）是，
故答案为：是；

（2）如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．                     

设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y=2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x=（x+y）：2，
所以联立得方程组$\left\{\begin{array}{l}{x：y=2：3}\\{2：x=（x+y）：2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}\sqrt{10}}\\{y=\frac{3}{5}\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
即三分线长分别是$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解方程组等知识；解决本题的关键是作出图形．