Question

14．如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：
①∠AFD=∠C；②DF=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BAE=∠FAC．
其中正确的结论是①③④（填写所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF=AC，根据等边对等角推出即可判断①；DE=CF不正确，采用反证法，假设DF=CF，推出DF=BF，推出∠B=∠BDF=∠EDA=∠E，得出AE=AD=AB，即可判断②；根据∠E=∠B，∠EDA=∠BDF，推出△ADE∽△FBD即可判断③；根据全等三角形性质得出∠EAF=∠BAC，求出∠EAD=∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD=∠EAD=∠CAF，即可判断④．

解答 解：在△AEF和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠E=∠B}\\{EF=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF=AC，
∴∠AFC=∠C，∴①正确；
DE=CF不正确，理由是：假设DF=CF，
∵EF=BC，
∴DF=BF，
∴∠B=∠BDF=∠EDA=∠E，
∴AE=AD=AB，
∴AD=AB不正确，∴②错误；
∵∠E=∠B，∠EDA=∠BDF，
∴△ADE∽△FBD，∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF-∠DAF=∠BAC-∠DAF，
∴∠EAD=∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD=∠EAD=∠CAF，∴④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较典型，但是有一定的难度．