Question

【题目】阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=，BC=，求AD的长．

小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．

请回答：AD的长为　　　　．

参考小红思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD的长．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）BC=，AD=．

【解析】

（1）延长AB与DC相交于点E，解直角三角形BEC，得出BE的长，那么AE=AB+BE，再解直角三角形ADE，即可求出AD；
（2）延长AB与DC相交于点E．由∠ABC=∠BCD=135°，得出∠EBC=∠ECB=45°，那么BE=CE，∠E=90°．设BE=CE=x，则BC=x，AE=9+x，DE=3+x．在Rt△ADE中，由tanA=，得出，求出x=3，那么BC=3，AE=12，DE=6，再利用勾股定理即可求出AD．

（1）如图，延长AB与DC相交于点E，

在△ADE中，

∵∠A=90°，∠D=60°，

∴∠E=30°．

在Rt△BEC中，

∵∠BCE=90°，∠E=30°，BC=，

∴BE=2BC=2，

∴AE=AB+BE=4+2=6．

在Rt△ADE中，

∵∠A=90°，∠E=30°，AE=6，

∴AD=AEtan∠E=6×=6．

故答案为：6；

（2）如图，延长AB与DC相交于点E．

∵∠ABC=∠BCD=135°，

∴∠EBC=∠ECB=45°，

∴BE=CE，∠E=90°．

设BE=CE=x，则BC=x，AE=9+x，DE=3+x．

在Rt△ADE中，∠E=90°．

∵tanA=，

∴，即，

∴x=3．

经检验x=3是所列方程的解，且符合题意，

∴BC=3，AE=12，DE=6，

∴AD==6．