Question

【题目】如图，在等边△ABC中， ．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向终点A运动；同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．作PM⊥BC于点M，连结PQ．以PM、PQ为邻边作□PMNQ，设□PMNQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，点Q的运动时间为t秒．

（1）_____________（用含t的代数式表示）．

（2）当四边形PMNQ是菱形时，求t的值．

（3）求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）

【解析】

（1）根据30度的直角三角形的性质可得PM的长；

（2）如图1，作辅助线，构建直角三角形，根据勾股定理和30°的直角三角形的性质得：AG和PG的长，根据AB=4，列方程可得t的值；

（3）分三种情况：①0≤t＜时，如图3，延长QN交BC于G，□PMNQ与△ABC重叠部分图形是□PMNQ；

②当≤t＜2时，如图4，□PMNQ与△ABC重叠部分图形是梯形PMGQ；

③当2≤t≤4时，如图5，P与A重合，□PMNQ与△ABC重叠部分图形是梯形PMGQ，根据面积公式可得结论．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵PM⊥BC，

∴∠PMB=90°，

∵PB=2t，

∴PM=；

故答案为：；

（2）如图1，四边形PMNQ是菱形，

过Q作QG⊥AB于G，

由题意得：AQ=t，PB=2t，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∴∠AQG=30°，

∴AG=，GQ=，

Rt△BPM中，∠BMP=90°，

∴∠BPM=30°，

∴PM=，

∵四边形PMNQ是菱形，

∴PQ=PM=，

∴PG=，

∴AB=AG+PG+PB，即2t++=4，

∴t=1；

（3）如图2，当N在BC上时，四边形PMNQ是矩形，

∴PQ∥BC，

∴∠APQ=∠B=60°，∠AQP=∠C=60°，

∴△APQ是等边三角形，

∴AP=AQ=t，

∴AB+PB=4，即t+2t=4，

∴t=；

分三种情况：

①0≤t＜时，如图，延长QN交BC于G，PMNQ与△ABC重叠部分图形是□PMNQ，

∵PM∥QN，PM⊥BC，

∴QG⊥BC，

Rt△CQG中，∠CQG=30°，CQ=4-t，

∴GQ=（4-t），CG=CQ=（4-t），

∴MG=，

∴S=SPMNQ=PMMG=；

②当≤t＜2时，如图，PMNQ与△ABC重叠部分图形是梯形PMGQ，

∴S=MG(QG+PM)=；

③当2≤t≤4时，如图，P与A重合，PMNQ与△ABC重叠部分图形是梯形PMGQ，

BM=2，PM=，CG=，

∴MG==，

∴S=MG(QG+PM)=；

∴.