Question

17．如图，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE．（1）求证：AE∥BC．
（2）当D点运动到什么位置时，EC⊥BC？

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC与三角形DEC都为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，三角相等都为60°，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，利用等式的性质得到∠ACE=∠BCD，利用SAS得出三角形ACE与三角形BCD全等，由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AE与BC平行；
（2）当CD与AB垂直时，得到∠BDC为直角，由全等三角形的对应角相等得到∠AEC=∠BDC=90°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC与△DEC都为等边三角形，
∴AB=BC=AC，DE=EC=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠B=60°，
∴AE∥BC；

（2）当CD⊥AB时，EC⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=90°，
∴EC⊥BC．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．