Question

6．在?ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足∠ECD=∠ACB，AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F，证明：∠DFE=∠AFB．

Answer 1

分析 四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质得到∠ACB=∠DAC，等量代换得到∠ECD=∠ACB=∠DAF，根据圆周角定理得到∠ABD=∠AFD，∠BDC=∠ABD，推出△ECD∽△DAF，得到比例式$\frac{DE}{DF}=\frac{CD}{AF}=\frac{AB}{AF}$，证得△EDF∽△BAF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ACB=∠DAC，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECD=∠ACB=∠DAF，
∵∠ABD=∠AFD，∠BDC=∠ABD，
∴∠AFD=∠BDC，
∴△ECD∽△DAF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{CD}{AF}=\frac{AB}{AF}$，
∵∠EDF=∠BDF=∠BAF，
∴△EDF∽△BAF，
∴∠DFE=∠AFB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．