Question

1．如图，在平面直角坐标系中，0A=0B=3，点C在直线AB上且过点C作CD⊥y轴，垂足为D，S_BCD：S_BOA=1：9，点Q（x，0）是x轴上的一个动点．
（1）求C点的坐标；
（2）写出△CQA的面积S与Q点横坐标x之间的关系式，并且写出x的取值范围；
（3）是否存在这样的Q点，使得△AQC为等腰直角三角形？如果存在，求出此时Q点的坐标．如果不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积的比，可得C点的横坐标的方程，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：x＞3，x＜3，根据三角形面积公式，可得函数关系式；
（3）分类讨论：①当C₁（-1，4）时，②当C₂（1，2）时，根据等腰直角三角形的判定，可得AQ=CQ，AC=CQ，可得答案．

解答 解：（1）如图1：，
设CD=DB=x，
由S_BCD：S_BOA=1：9，得
（$\frac{1}{2}$x²）：（$\frac{9}{2}$）=1：9，
解得x=±1．
OD₁=OB+BD₁=4
D₁（0，4），即C₁（-1，4）；
OD₂=OB-BD₂=2，
D₂（0，2），即C₂（1，2）；
（2）当C₁（-1，4）时，S=$\frac{1}{2}$×4×（x-3）=2x-6；
当C₂（1，2）时，S=$\frac{1}{2}$×4×（3-x）=-2x+6；
（3）如图2：，
设Q（a，0），
①当C₁（-1，4）时，C₁Q=AQ=4时，3-a=4，解得a=-1，Q₁（-1，0）；
C₁Q₂=AC₁时，C₁Q₁是AQ₂的垂直平分线，-1-a=3-（-1），解得a=-5，Q₂（-5，0）；
②当C₂（1，2）时，AQ₃=C₂Q₃，3-a=2，解得a=1，Q₃（1，0），
AC=CQ₄，C₂Q₃是AQ₄的垂直平分线，3-1=1-a，解得a=-1，Q₄（-1，0）；
综上所述：Q₁（-1，0）；Q₂（-5，0）；Q₃（1，0），Q₄（-1，0）．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了三角形面积的比得出关于C点横坐标的方程是解题关键；（2）利用三角形面积公式是得出函数解析式的关键；（3）利用了等腰直角三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．