题目内容

如图，两个反比例函数 $数学公式$ 和 $数学公式$ 在第一象限内的图象依次是C₁和C₂，设点p₁在c₂上，p₁E₁⊥x轴于点E₁，p₁D₁⊥y轴与点D₁，交C₁于点A₁交c₁与点B₁．
（1）求出四边形P₁A₁OB₁的面积S₁；
（2）若 $数学公式$ 在第一象限的图象是c₃，p₂是C₃上的点，P₂E₂⊥x轴于点E₂，交C₂于点A₂，P₂D₂⊥y轴于点D₂，交C₂于点B₂，则四边形P₂A₂OB₂的面积S₂=______．
（3）按此类推，试猜想四边形P_nA_nOB_n的面积S_n=______，在所给坐标系中画出草图，并验证你的猜想．

解：（1）设P₁（x，y），A₁（x，y'），B₁（x'，y），则OE₁=x，OD₁=y，A₁E₁=y'，B₁D₁=x'，
∵点A₁，B₁在反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上，
∴x'y=1，xy'=1，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ OD₁•B₁D₁= $\text{[math]}$ ×y•x'= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ OE₁•A₁E₁= $\text{[math]}$ y'•x= $\text{[math]}$ ，
∵点P₁在反比例函数 $\text{[math]}$ 上，
∴xy=2，
∴ $\text{[math]}$ =OD₁•OE₁=y•x=2，
∴S₁= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1；
（2）由（1）同理可得，四边形P₂A₂OB₂的面积S₂=1，
故答案为：1
（3）设P_n（x，y），A_n（x，y'），B_n（x'，y），则OE_n=x，OD_n=y，A_nE_n=y'，B_nD_n=x'，

∵点A_n，B_n在反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上，
∴x'y=n-1，xy'=n-1，
∴S_△OBnDn= $\text{[math]}$ OD_n•B_nD_n= $\text{[math]}$ ×y•x'= $\text{[math]}$ （n-1），
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ OE_n•A_nE_n= $\text{[math]}$ y'•x= $\text{[math]}$ （n-1），
∵点P_n在反比例函数 $\text{[math]}$ 上，
∴xy=n，
∴ $\text{[math]}$ =OD_n•OE_n=y•x=n，
∴S_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =n- $\text{[math]}$ （n-1） $\text{[math]}$ （n-1）=1；
分析：（1）先设P₁（x，y），A₁（x，y'），B₁（x'，y），得出x'y=1，xy'=1，再根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ OD₁•B₁D₁= $\text{[math]}$ ×y•x'， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ OE₁•A₁E₁= $\text{[math]}$ y'•x， $\text{[math]}$ =OD₁•OE₁=y•x，最后根据S₁= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 代入计算即可；
（2）由（1）同理即可得出四边形P₂A₂OB₂的面积；
（3）先设P_n（x，y），A_n（x，y'），B_n（x'，y），根据点A_n，B_n在反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上，得出S_△OBnDn= $\text{[math]}$ OD_n•B_nD_n= $\text{[math]}$ ×y•x'= $\text{[math]}$ （n-1）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ OE_n•A_nE_n= $\text{[math]}$ y'•x= $\text{[math]}$ （n-1），
根据点P_n在反比例函数 $\text{[math]}$ 上，得出xy=n，再根据 $\text{[math]}$ =OD_n•OE_n=y•x=n，最后根据S_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 代入计算即可．
点评：此题考查了反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握反比例函数的解析式与三角形的面积和矩形的面积之间的关系，同时要注意运用数形结合的思想．