Question

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P．
（1）求证：AE=AP．
（2）如果角∠C=30°，AE=1，求AC的长．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质，可得∠ABE=∠PBD，根据三角形的内角和定理，等式的性质，可得∠AEB与∠BPD的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据直角三角形的性质，可得BE的长度，根据勾股定理，可得AB的长度，根据锐角三角函数，可得答案．

解答：（1）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠PBD．
∵AD是BC边上的高，
∠PDB=90°．
∵∠AEB、∠A、∠ABE是△ABE的内角，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-90°-∠ABE=90°-∠ABE，
∵∠BPD、∠PDB、∠PBD是△PBD的内角，
∴∠BPD=180°-∠PDB-∠PBD=180°-90°-∠PBD=90°-∠PBD，
∴∠AEB=∠BPD．
∵∠APE与∠BPD是对顶角，
∴∠APE=∠AEP，
AE=AP；
（2）解：∠C=30°，
∴∠ABC=60°，．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=30°，．
∵AE=1，
∴BE=2AE=2，
由勾股定理，得
AB=

22-12

=

3

．
tan∠ABC=tan 60°=

AC

AB

=

3

，
AC=

3

AB=3．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，锐角三角函数，题目稍有难度．