Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．

（1）求证：△DOB∽△ACB；

（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；

（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）

【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD＝x，CD，BD，BO用x表示出来，所以可得BD长.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,

AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.

试题解析：

（1）证明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，

∴∠ACB＝∠DOB＝90°,

又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．

（2）∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,

∴DO＝DC,

在 Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,

∵△DOB∽△ACB,

∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶5,

设BD＝x，则DO＝DC＝x，BO＝x,

∵CD＋BD＝8，∴ x＋x＝8，解得x＝,5，即：BD＝5．

（3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B＝∠OB′D，

BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,

∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,

∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,

∵AB′＋B′O＋BO＝10，

∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，

∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD＝.