Question

7．观察下列算式，寻找规律，理由规律解答后面的问题：
1×3+1=4=2²，2×4+1=9=3²，3×5+1=16=4²，4×6+1=25=5²，…，
①请按上述规律填写：7×9+1=64=8²；
可知：若n为正整数，则n×（n+2）+1=（n+1）²．
 ②请你用找到的规律计算：（1+$\frac{1}{1×3}$）×（1+$\frac{1}{2×4}$）×（1+$\frac{1}{3×5}$）×…×（1+$\frac{1}{9×11}$）．

Answer 1

分析 ①等式的左边是相差为2的两个数相乘，再加上1；右边是两个数的平均数的平方．根据这一规律用字母表示即可；
②将括号内先通分，再利用以上规律变形，最后约分即可得．

解答 解：①第1个式子为：1×3+1=4=2²
第2个式子为：2×4+1=9=3²
第3个式子为：3×5+1=16=4²
第4个式子为：4×6+1=25=5²
…
∴第7个式子为：7×9+1=64=8²，
第n个式子为：n（n+2）+1=（n+1）²，
故答案为：7，9，64，（n+2）；

②原式=$\frac{1×3+1}{1×3}$×$\frac{2×4+1}{2×4}$×$\frac{3×5+1}{3×5}$×…×$\frac{9×11+1}{9×11}$
=$\frac{{2}^{2}}{1×3}$×$\frac{{3}^{2}}{2×4}$×$\frac{{4}^{2}}{3×5}$×…×$\frac{1{0}^{2}}{9×11}$
=$\frac{20}{11}$．

点评 此题考查数字的变化规律，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化，找出规律，解决问题．