Question

4．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AC=AB+BD．求证：AD是∠BAC的平分线．

Answer 1

分析 在CB的延长线上截取BE=AB，则∠E=∠BAE，由三角形外角等于不相邻的内角和可推断出∠E=∠C，即AE=AC，再根据已知条件中的边角关系即可得出∠BAD=∠CAD，从而得证．

解答 证明：延长CB，在CB的延长线上截取BE=AB，连接AE，如下图：

∵AB=BE，
∴∠E=∠BAE，
∵∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E=2∠C（三角形外角等于不相邻的两个内角和），
∴∠E=∠C，
∴AE=AC，

∵AC=AB+BD，DE=BE+BD=AB+BD，
∴AE=DE，

∴∠EAD=∠ADE，
∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠C+∠BAD，∠ADE=∠C+∠CAD（三角形外角等于不相邻的两个内角和），

∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
证毕．

点评 本题考查的是三角形的外角等于不相邻两内家之和，只要利用好这个原理，结合题意即可得证．