Question

1．如图，点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），点B的坐标为（0，1），将△AOB绕原点O顺时针旋转60°到△A'OB'，A'B'恰好过点B，则B'的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），重叠部分△BOE的面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 过点B′作B′F⊥x轴于点F，根据旋转性质可得OB=OB′=1、∠AOA′=∠BOB′=60°即∠BOE=∠B′OF=30°，在Rt△B′OF中，根据三角函数求得OF、B′F可得点B′坐标；根据题意可得∠ABO=60°，继而可得∠OEB=90°，再求得OE、BE，从而得出△BOE的面积．

解答 解：过点B′作B′F⊥x轴于点F，

根据旋转性质可得：OB=OB′=1，∠AOA′=∠BOB′=60°，
∴∠BOE=∠B′OF=30°，
在Rt△B′OF中，OF=OB′cos∠B′OF=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
B′F=OB′sin∠B′OF=1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴点B′的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
在Rt△AOB中，∵OB=1，AO=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∴∠OEB=90°，
在Rt△BOE中，OE=OBsin∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=OBcos∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BOE=$\frac{1}{2}$BE•OE=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查旋转的性质和解直角三角形，熟练掌握旋转的性质得出所需角的度数和线段的长度是解题的关键．