Question

17．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

Answer 1

分析 （1）结论：AG²=GE²+GF²．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．

解答 解：（1）结论：AG²=GE²+GF²．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG²=GF²+CF²，
∴AG²=GF²+GE²．

（2）过点A作AH⊥BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠GBF=45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF=45°，
∵∠AGF=105°，
∴∠AGB=∠AGF-∠BGF=105°-45°=60°，
在Rt△ABH中，∵AB=1，
∴AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AGH中，∵AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠GAH=30°，
∴HG=AH•tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴BG=BH+HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．