Question

已知直线y=

1

2

x与y=

k

x

（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4，过原点O的另一条直线l交双曲线y=

k

x

（k＞0）于P，Q两点（点P在第一象限），由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，设P点坐标为（a，b），先确定A点坐标为（4，2），再利用A点坐标确定反比例函数解析式为y=

8

x

，根据反比例函数的性质可得到四边形APBQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到S_△OPA=

1

4

S_{平行四边形APBQ}=6，由于S_矩形ONPM+S_梯形AHNP=S_△OPM+S_△OPA+S_△OAH，化简反比例函数的比例系数的几何意义和梯形的面积公式有8+

1

2

（2+b）（4-a）=4+6+4，再把b=

8

a

代入得（2+

8

a

）（4-a）=12，解得a₁=2，a₂=-8（舍去），当a=2，b=

8

a

=4，所以P点坐标为（2，4）．

解答：解：作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图，设P点坐标为（a，b）
把x=4代入y=

1

2

x得y=2，则A点坐标为（4，2），
把A（4，2）代入y=

k

x

得k=4×2=8，
所以反比例函数解析式为y=

8

x

，
∵点A与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∴S_△OPA=

1

4

S_{平行四边形APBQ}=

1

4

×24=6，
∵S_矩形ONPM+S_梯形AHNP=S_△OPM+S_△OPA+S_△OAH，
∴8+

1

2

（2+b）（4-a）=4+6+4，
∵b=

8

a

，
∴（2+

8

a

）（4-a）=12，
整理得a²+6a-16=0，解得a₁=2，a₂=-8（舍去），
当a=2，b=

8

a

=4，
∴P点坐标为（2，4）．
同理，当四边形BQPA是平行四边形时，点P的坐标是（8，1）
故答案为（2，4）或（8，1）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．