Question

如图，是一块学生用的直角三角板ABC，其中∠A=30°，斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边间的距离都是1cm，延长DE交BC于点M，延长FE交AB于点N．
（1）判断四边形EMBN的形状，并说明理由；
（2）求△DEF的周长．

Answer 1

考点：相似三角形的应用,位似变换

专题：

分析：（1）根据空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行直接得到两组对边平行，用平行四边形的定义判定平行四边形即可；
（2）连接BE，作EH⊥BC，FM⊥BC，即可求得EF的长，则在直角△DEF中，即可解得DE，DF的长，从而求得三角形的周长．

解答：解：（1）∵空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，
∴EM∥BN，EN∥MB，
∴四边形EMBN是平行四边形；

（2）连接BE，作EH⊥BC，FG⊥BC，则CG=1cm．
∵直角△ABC中，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×8=4．
∵E到AB与到BC的距离相等，
∴BE平分∠ABC．
∴∠EBN=30°
在直角△BHE中，tan∠EBH=

EH

BH

．
∴BH=

EH

tan30°

=

3

EH=

3

．
∴EF=NG=4-BH-CG=4-

3

-1=3-

3

．
在直角△DEF中，∠D=30°，
∴DE=2EF=6-2

3

，
DF=

3

EF=3

3

-3．
∴△DEF的周长是EF+DE+DF=3-

3

+6-2

3

+3

3

-3=6．

点评：本题考查了相似三角形的应用及含30°锐角的直角三角形的性质，关键是作出辅助线求得EF的长．