Question

12．如图，将正方形ABCD的四边各延长一倍．即DM=AD，CN=CD，AQ=AB，BP=BC．连接M，N，P，Q四点，试判断MNPQ的形状，并予以证明．

Answer 1

分析 由正方形的性质可以得出AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，就可以得出∠MAQ=∠QBP=∠PCN=∠MDN=90°，由条件就可以得出△MAQ≌△QBP≌△PCN≌△NDM，就可以得出MQ=QP=PN=NM，∠PQM=90°，就可以得出结论．

解答 解：四边形MNPQ为正方形．
理由：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠QAM=∠PBQ=∠NCP=∠MDN=90°．
∵DM=AD，CN=CD，AQ=AB，BP=BC，
∴DM=CN=BP=AQ，
∴AB+AQ=AD+DM=CD+CN=CB+BP，
∴BQ=AM=DN=CP．
在△MAQ和△QBP中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=BP}\\{∠QAM=∠PBQ}\\{BQ=AM}\end{array}\right.$，
∴△MAQ≌△QBP（SAS），
∴MQ=QP，∠AMQ=∠BQP，∠AQM=∠BPQ．
∵∠BPQ+∠BQP=90°，
∴∠AQM+∠BQP=90°，
即∠PQM=90°，
同理可得，△QBP≌△PCN≌△NDM，
∴QP=PN=NM，
∴MQ=QP=PN=NM，
∴四边形MNPQ为菱形．
∵∠PQM=90°，
∴菱形MNPQ为正方形．

点评 本题考查了正方形的性质及正方形的判定的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．