Question

【题目】已知抛物线交x轴于A（-2，0），B（4，0）两点，交y轴于C点，连接AC、BC．点D在线段BC上（不与点B、点C重合），DE∥AC，交x轴于点E，连接CE．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，△CDE的面积为S．则m为何值时，S取得最大值，并求出这个最大值；

（3）若△ACE为等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=2时，S取得最大值；（3） 或 或

【解析】

（1）根据待定系数法解答即可；

（2）易得点C坐标和BC的长，然后利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，如图1，作DF⊥x轴于点F，则DF的长可用含m的代数式表示，由DE∥AC可得△BDE∽△BCA，于是有，由DF∥OC可得，于是有，则BE可用含m的代数式表示，然后根据即可得出S与m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出结果；

（3）分三种情况：当CA=CE时，如图2，结合（2）题中的BE先用含m的代数式表示AE，由AE=2AO即可建立m的方程，解方程即可求出m，进而可得点D坐标；当AC=AE时，如图3，由AC的长可直接解出m，从而可得点D坐标；当EA=EC时，如图4，在Rt△OEC中，根据勾股定理建立m的方程，解方程即可求出m，于是可得点D坐标．

解：（1）∵抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，

∴，解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），

∵A（﹣2，0），B（4，0），

∴OA＝2，OC＝3，OB＝4．

在Rt△OBC中，BC=．

由B（4，0）、C（0，﹣3）可求得直线BC的解析式为，

∵点D的横坐标为m，∴D（m，），

如图1，作DF⊥x轴于点F，

∴DF=，

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BCA．

∴．

∵DF∥OC，

∴．

∴．

∴．

∴，

∴m=2时，S取得最大值；

（3）分三种情况：

当CA=CE时，如图2，

∵，

∴AE=，

∵AE=2AO=4，

∴，解得：，

此时点D的坐标是：；

当AC=AE时，如图3，

∵，

∴

∴，

此时点M的坐标为；

当EA=EC时，如图4，

∵，∴

则在Rt△OEC中，由勾股定理，得：，解得：，

此时点D的坐标是．

综上，点D的坐标为或 或．