Question

13．如图，等腰直角三角形ABC，斜边上一动点P，连接AP，以AP为斜边作等腰直角三角形，顶点为D，点M是AC边中点，连接MD，延长交斜边于点N，求证：BN=CN．

Answer 1

分析 延长AD到E，交BC于F，使得AD=DE连接CE、PE，得到△APE是等腰直角三角形，根据三角形的中位线的性质得到DM∥CE，推出点A，P，E，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACP=∠ECP=45°，得到CE⊥AC，NM⊥AC，证得NM∥AB于是得到结论．

解答 解：延长AD到E，交BC于F，使得AD=DE连接CE、PE，
∵△ADP是等腰直角三角形，
∴△APE是等腰直角三角形，
∵M是AC中点，
∴DM∥CE，
∵∠APC=45°+∠CPD=45°+∠BAP，
∴∠CPD=∠BAP，
∵∠BAP+∠CAD=∠CPE+∠CPD=45°，
∴∠CPE=∠CAD，
∵∠AFC=∠PFE，
∴点A，P，E，C四点共圆，
∴∠ACP=∠ECP=45°，
∴∠ACE=∠ACP+∠ECP=90°，
∴CE⊥AC，NM⊥AC，
∵AB⊥AC
∴NM∥AB
∴N为BC中点，BN=CN．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．