Question

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为⊙O的直径，AB、DC的延长线相交于点E，且CB=CE．求证：点C为弧BD的中点．

Answer 1

分析 首先连接AC，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，然后由圆的内接四边形的性质，可得∠D=∠E，可得AD=AE，又由AD为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥DE，再由三线合一的性质，证得∠BAC=∠DAC，则可证得结论．

解答 证明：连接AC，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∵∠CBE+∠ABC=180°，∠ABC+∠D=180°，
∴∠CBE=∠D，
∴∠D=∠E，
∴AE=AD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
即AC⊥DE，
∴∠BAC=∠DAC，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
即点C为弧BD的中点．

点评 此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．