Question

如图，直线y=-

1

2

x+2与x轴y轴交于A、B两点，AC⊥AB，交双曲线y=

k

x

（x＜O）于C点，且BC交x轴于M点，BM=2CM，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：计算题,压轴题

分析：作CD⊥OA于D，先确定B点坐标为（0，2），A点坐标为（0，4），得到OB=2，OA=4，易证得Rt△BMO∽Rt△CMD，则

OB

CD

=

BM

MC

，而BM=2CM，OB=2，则可计算出CD=1，然后再证明Rt△BAO∽Rt△ACD，利用相似比可计算出AD，于是可确定C点坐标，然后把C点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值．

解答：解：作CD⊥OA于D，如图，
把x=0代入y=-

1

2

x+2得y=2，把y=0代入y=-

1

2

x+2得-

1

2

x+2=0，解得x=4，
∴B点坐标为（0，2），A点坐标为（0，4），即OB=2，OA=4，
∵CD⊥OA，
∴∠CDM=∠BOM=90°，
而∠CMD=∠BMO，
∴Rt△BMO∽Rt△CMD，
∴

OB

CD

=

BM

MC

，
而BM=2CM，OB=2，
∴CD=1，
∵AC⊥AB，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
而∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
∴Rt△BAO∽Rt△ACD，
∴

OB

AD

=

OA

CD

，即

2

AD

=

4

1

，
∴AD=

1

2

，
∴OD=OA-DA=4-

1

2

=

7

2

，
∴C点坐标为（

7

2

，-1），
把C（

7

2

，-1）代入y=

k

x

得k=-

7

2

．
故答案为-

7

2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；熟练运用相似比进行几何计算．