Question

E、F分别是∠AOB的两边OA、OB上的点，且OE=OF，OA=OB，AE、BF交于P．求证：OP平分∠AOB．（用两种方法）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：①先根据SAS证明△OAF≌△OBE，得出对应角相等，再根据AAS证明△APE≌△BPF，得出对应边相等，最后根据SSS证明△AOP≌△BOP，即可得出结论；
②先证明OP垂直平分AB，再根据等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．

解答： ①证明：在△OAF和△OBE中，

OF=OE   ∠AOF=∠BOE   OA=OB

，
∴△OAF≌△OBE（SAS），
∴∠OAF=∠OBE，
∵OE=OF，OA=OB，
∴AE=BF，
在△APE和△BPF中，

∠OAF=∠OBE   ∠APE=∠BPF   AE=BF

，
∴△APE≌△BPF（AAS），
∴PA=PB，
在△AOP和△BOP中，

OA=OB   PA=PB   OP=OP

，
∴△AOP≌△BOP（SSS），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP平分∠AOB；
②证明：∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
由①得，PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分AB，
∵OA=OB，
∴OP平分∠AOB（三线合一）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．