Question

4．若正比例函数y₁=-x的图象与一次函数y₂=x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为-1．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）直接写出方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-x\\ y=x+m\end{array}\right.$的解；
（3）在一次函数y₂=x+m的图象上求点B，使△AOB（O为坐标原点）的面积为2．

Answer 1

分析 （1）先将x=-1代入y=-x，求出y的值，得到点A坐标，再将点A坐标代入y=x+m，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）方程组的解就是正比例函数y=-x的图象与一次函数y=x+m的交点，根据交点坐标即可写出方程组的解；
（3）根据三角形的面积公式解答即可．

解答 解：（1）将x=-1代入y=-x，得y=1，
则点A坐标为（-1，1）．
将A（-1，1）代入y=x+m，得-1+m=1，
解得m=2，
所以一次函数的解析式为y=x+2；
（2）方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=x+m}\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$；
（3）设直线直线y=x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（-2，0），
∵A（-1，1），
∴S_△AOC=S_△AOD=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
①当B点在第一象限时，则S_△BOC=1，
设B的横坐标为m，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×m=1，解得m=1，
∴B（1，3）；
②当B点在第三象限时，则S_△BOD=1，
设B的纵坐标为n，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$×2×（-n）=1，解得n=-1，
∴B（-3，-1）．
综上，B的坐标为（1，3）或（-3，-1）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，方程组和函数的关系，三角形的面积等，分类讨论思想的运用是本题的关键．