Question

【题目】如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点为该二次函数图象顶点．连接、及、．

（1）如图1，若点的坐标，顶点坐标．

①求的值，并说明；

②如图2，点是抛物线的对称轴上一点，以点为圆心的圆经过、两点，且与直线相切，求点的坐标；

（2）若，点，点，如图3，动点在直线上方的二次函数图象上．过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求出点的横坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，见解析；②点P的坐标为（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；（2）G的横坐标或

【解析】

（1）①设，将点B坐标代入，求出a值，得到抛物线表达式，令y=0，求出点A坐标，根据OB和OC得出∠CBO=∠OCB，再根据各点坐标算出BC，DC，BD的长，证明△BCD是直角三角形，推出∠DBC=∠OCA，从而得到结论；

②设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F，证明△DEP为等腰三角形，设P（1，m），在△APQ中，利用勾股定理列出方程，解出m，可得点P坐标；

（2）分，两种情况分别讨论，列出相应方程，解之即可.

解：（1）①设，将B（3，0）代入，

解得，

∴抛物线的解析式是：，即，

令，则，，，

∴A（－1，0），

∴，

∴∠CBO=∠OCB，，

∵，，，

∴，是直角三角形且，

∴，

又∵∠DBC和∠OCA都是锐角，

∴∠DBC=∠OCA，

∴∠DBA=∠ACB；

②如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F，

∴PE⊥CD，PE=PA，

由y=﹣x2+2x+3，得：对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4），

∴DF=4﹣3=1，CF=1，

∴DF=CF，

∴△DCF为等腰直角三角形，

∴∠CDF=45°，

∴∠EDP=∠EPD=45°，

∴DE=EP，

∴△DEP为等腰三角形，

设P（1，m），D（1，4），

∴，

∴，

∴EP2=（4﹣m）2，

在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1-（-1）]2+m2

∴（4﹣m）2=[1-（-1）]2+m2，

整理，得m2+8m﹣8=0，

解得，m=﹣4±，

∴点P的坐标为（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；

（2）G的横坐标或，

①若，

∴，

∴，

当时，

，

∴，

于是，，

∴，

∴，

∴（舍），，

∴；

②若，

取的中点，

则，

∴，

∴，

令，，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

∴

故点G的横坐标或.