Question

已知如图：△ABC内接于⊙O，P为BC边延长线上的一点，PA为⊙O的切线，切点为A，若PA=6，PC=4，求的值．

Answer 1

【答案】分析：由于∠B、∠ABC都不在直角三角形中，因此需要通过作辅助线来达到这个目的．过A作⊙O的直径AD，连接BD、CD，那么∠ADB=∠ACB、∠ADC=∠B，在Rt△ABD和Rt△ACD中，可得到sinB=AC：AD，sinACB=AB：AD；因此只需求得AB：AC的值即可，分析图形，可通过证△PAB∽△PCA来求得这个比值．
解答：解：∵PA是⊙O的切线，
∴PA²=PC•PB，
∵PA=6，PC=4，
∴PB=9；
由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，
又∵∠APC=∠BPA，
∴△PAC∽△PBA，
∴；
过A作⊙O的直径AD，连接BD、CD；
则有：∠ADB=∠ACB，∠ABC=∠ADC；
在Rt△ABD中，sinADB=sinACB=AB：AD，
同理得：sinADC=sinABC=AC：AD；
∴=．
点评：此题主要考查了圆周角定理、切线的性质、弦切角和切割线定理以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．