题目内容
如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．
②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是______厘米/秒．（直接写出答案）
解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：…
∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，
∴CM=2×3=6（cm）
BN=2×3=6（cm）
BM=BC-CM=10-6=4（cm）
∴BN=CM…
∵CD=4（cm）
∴BM=CD…
∵∠B=∠C=60°，
∴△BMN≌△CDM．（SAS） …
②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：
Ⅰ．当∠NMB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BN=2BM，…
∴3t=2×（10-3t）
∴t=
（秒）；…
Ⅱ．当∠BNM=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BM=2BN，…．
∴10-3t=2×3t
∴t=
（秒）．…
∴当t=秒或t=秒时，△BMN是直角三角形；
（2）分两种情况讨论：
I．若点M运动速度快，则 3×25-10=25VN，解得 VN=2.6；
Ⅱ．若点N运动速度快，则 25VN-20=3×25，解得 VN=3.8．
故答案是 3.8或2.6．…
分析：（1）①根据题意得CM=BN=6cm，所以BM=4cm=CD．根据“SAS”证明△BMN≌△CDM；
②设运动时间为t秒，分别表示CM和BN．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；
（2）点M与点N第一次相遇，有两种可能：I．点M运动速度快；Ⅱ．点N运动速度快．分别列方程求解．
点评：此题考查等边三角形的性质、特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，难度较大．
∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，
∴CM=2×3=6（cm）
BN=2×3=6（cm）
BM=BC-CM=10-6=4（cm）
∴BN=CM…
∵CD=4（cm）
∴BM=CD…
∵∠B=∠C=60°，
∴△BMN≌△CDM．（SAS） …
②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：
Ⅰ．当∠NMB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BN=2BM，…
∴3t=2×（10-3t）
∴t=
（秒）；…Ⅱ．当∠BNM=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BM=2BN，…．
∴10-3t=2×3t
∴t=
（秒）．…∴当t=
秒或t=秒时，△BMN是直角三角形；（2）分两种情况讨论：
I．若点M运动速度快，则 3×25-10=25VN，解得 VN=2.6；
Ⅱ．若点N运动速度快，则 25VN-20=3×25，解得 VN=3.8．
故答案是 3.8或2.6．…
分析：（1）①根据题意得CM=BN=6cm，所以BM=4cm=CD．根据“SAS”证明△BMN≌△CDM；
②设运动时间为t秒，分别表示CM和BN．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；
（2）点M与点N第一次相遇，有两种可能：I．点M运动速度快；Ⅱ．点N运动速度快．分别列方程求解．
点评：此题考查等边三角形的性质、特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，难度较大．
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