Question

2．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，过B、C两点分别作直线l的垂线段，垂足分别为D、E．

（1）求证：AE=BD；
（2）点O为BC的中点，连接DO、EO，如图2，试判断△ODE的形状？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等求出∠BAD=∠ACE，然后利用“角角边”证明△ABD和△CAE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）连接AO，根据等腰直角三角形的性质可得AO=BO，∠CAO=45°，∠AOB=90°，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠CAE，然后求出∠OAE=∠OBD，再利用“边角边”证明△AOE和△BOD全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OD，全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOD，然后求出∠DOE=90°，再根据等腰直角三角形的定义证明．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACE}\\{∠ADB=∠CEA=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD；

（2）△ODE是等腰直角三角形．
理由如下：如图，连接AO，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点O为BC的中点，
∴AO=BO，∠CAO=45°，∠AOB=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠ABD-∠ABO=∠CAE-∠CAO，
∵∠ABO=∠CAO=45°，
∴∠OAE=∠OBD，
在△AOE和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{∠OAE=∠OBD}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOD（SAS），
∴OE=OD，∠AOE=∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE+∠BOD=∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，
∴△ODE是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形并利用等腰直角三角形的性质．