Question

5．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，E为$\widehat{AD}$上的一点，BE交AC于点F，CF=BC，∠EAF=∠EBA．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=2$\sqrt{5}$，AC=6，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）BC是⊙O切线，只要证明∠ABC=90°即可．
（2）利用△AEB∽△FDB，得$\frac{EB}{BD}$=$\frac{AB}{BF}$，只要求出BD、BF即可解决问题．

解答 解：（1）BC与⊙O相切．理由如下：
∵AB为直径，
∴∠E=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∵∠4=∠5，∠1=∠2，
∴∠4+∠2=90°，
∵CB=CF，
∴∠4=∠CBF，
∴∠CBF+∠2=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
（2）连接BD则BD⊥AC，
在RT△ABC中，∠ABC=90°，AB=2$\sqrt{5}$，AC=6，
∴BC=CF=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BD=$\frac{1}{2}$•BC•AB，
∴BD=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，DF=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴BF=$\sqrt{B{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∵∠2=∠3，∠AEB=∠BDF，
∴△AEB∽△FDB，
∴$\frac{EB}{BD}$=$\frac{AB}{BF}$，
∴$\frac{BE}{\frac{4\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{4\sqrt{6}}{3}}$，
∴BE=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．