Question

【题目】如图，已知线段， 是上的一动点，是的中点，以为边作正方形，点关于射线的对称点为 ，连接、，直线交于点．

（1）如图1，当点在线段上，且，求的度数；

（2）小明在解题时发现：当点在线段上时，线段，，之间满足，那么你认为当点在线段上时（如图2），他的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（3）如图3，点在上，且，当点从点运动到点时，直接写出点所经过的路径长．

Answer 1

【答案】（1）∠AFD=45 ；（2）成立，理由见解析；（3）点所经过的路径长为．

【解析】

（1）根据点关于射线的对称点为，得出AE=AB，∠EAP=∠PAB=25，再根据正方形和等腰三角形的性质得出∠AED，然后根据三角形的外角即可得出结论

（2）连接BF、BD，先根据正方形的性质可得BD=2AD，再根据三角形的外角和内角和定理得出∠AFD=45，从确定BFD 是直角三角形，即可得出结论

（3）当点P运动到点Q时，BP=2，解直角三角形△ABP，得出∠BAP=30，再根据∠AFD=∠AOD，可得点F所经过的路径长为以点O为圆心，以OA长为半径，圆心角∠AOF=150的弧长，即可求出答案

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，∠BAD=90

∵点B与点E关于射线AP对称

∴AE=AB，∠EAP=∠PAB=25

∴AE=AD，∠EAD=∠EAB+∠BAD=140

∴∠AED=(180-∠EAD)= (180-140)=20

∴∠AFD=∠AED+∠EAP=20+25=45

（2）成立

理由如下：连接BF、BD，

在RtABD中，BD=AB+AD=2AD

∵点B与点E关于射线AP对称

∴BF=EF ，AB=AE=AD，∠AFB=∠AFD

∴∠BAF=∠EAF，∠ADE=∠AED

∵∠AED是△AEF的外角

∴∠AED=∠EAF+∠AFD

又∵∠DAE=90－2∠EAF

∴在△ADE中，∠DAE+∠ADE+∠AED=180

∴90－2∠EAF+2(∠EAF+∠AFD)=180

∴∠AFD=45

∴∠BFD=2∠AFD=90

∴在RtBFD中，B F+DF=BD

∴EF+DF=2AD

（3）点所经过的路径长为．

设AC、BD相交于点O，则

OA=AB=

∵在点F的运动过程中，∠AFD=45

∴∠AFD=∠AOD

当点P运动到点Q时，BP=2

在Rt△ABP中，tan∠BAP=

∴∠BAP=30∴∠CAF=15

∴点F所经过的路径长为以点O为圆心，以OA长为半径，圆心角∠AOF=150的弧长

∴点F所经过的路径长为．