Question

如图1，直线y=-

1

2

x+1交x轴于点A，交y轴于点B，C（m，-m）是直线AB上一点，双曲线y=

k

x

经过C点．
（1）求点C的坐标及双曲线的解析式．
（2）如图2，以CB为边在直线AB的上方作正方形BCDE，求点D的坐标，并判断点D是否在（1）中所求双曲线上？
（3）如图3，M，F分别是正方形BCDE的边CD，BC上的点，且MF∥BD，在ED的延长线上取一点K，使得DK=DE，KM与EF相交于点H，证明：∠EDH=2∠BEF．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）把C的坐标代入一次函数的解析式，即可得到一个关于m的方程，解得m的值，即可得到C的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）作CM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N，DF⊥CM于点F，然后证明△CDF≌△BCM，即可求得D的坐标，代入双曲线的解析式即可判断；
（3）证明△KDM≌△EBF，证得∠KMD=∠EFB，然后证明△KHE是直角三角形，根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，利用等边对等角，以及三角形的外角的性质即可证得．

解答：解：（1）把x=m，y=-m代入y=-

1

2

x+1，得：-m=-

1

2

m+1，
解得：m=-2，
则C的坐标是（-2，2），
代入y=

k

x

得：k=-4，
则双曲线的解析式是：y=-

4

x

；

（2）在y=-

1

2

x+1中，令x=0，解得：y=1，则B的坐标是（0，1）．
作CM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N，DF⊥CM于点F．
则CM=2，AM=2，BM=2-1=1．
∵∠DCB=∠DCM+∠MCB=90°，
又∵直角△BCM中，∠MCB+∠CBM=90°，
∴∠DCM=∠CBM，
则在△CDF和△BCM中，

∠DCM=∠CBM ∠CFD=∠CMB CD=BC

，
∴△CDF≌△BCM，
∴CF=BM=1，DF=CM=2，
∴MN=DF=2，
则AN=4，DN=FM=CM-CF=1，
则D的坐标是（-1，4），
满足y=-

4

x

，即D在双曲线上；

（3）∵BCDE是正方形，
∴BC=CD，
又∵MF∥BD，
∴CM=CF，
∴MD=FB，
∴在△KDM和△EBF中，

KD=EB ∠KDM=∠EBF MD=FB

，
∴△KDM≌△EBF，
∴∠KMD=∠EFB，
∴∠CMH+∠CFH=∠KMD+∠CFH=∠EFB+∠CFH=180°，
又∠MCF=90°，
∴∠MHF=90°，
∴△KHE是直角三角形．
又∵DK=DE，
∴KD=DP，
∴∠K=∠DHP，
又∵∠EDH=∠K+∠DHK，∠KMD=∠EFB，
∴∠EDH=2∠BEF．

点评：本题考查了正方形的性质以及待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定与性质，正确求得D的坐标，以及证明△KDM≌△EBF是关键．