Question

11．如图，在矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：△POD≌△QOB；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求出t为何值时，四边形PBQD是菱形．

Answer 1

分析 （1）先根据矩形性质得AD∥BC，则∠PDB=∠QBD，于是可根据“ASA”证明△POD≌△QOB；
（2）AP=t，PD=AD-AP=8-t，由△POD≌△QOB得到OP=OQ，于是可判断四边形PBQD为平行四边形，根据菱形的判定方法，当PB=PD时，四边形PBQD是菱形，则PB=8-t，然后在Rt△ABP中利用勾股定理得到6²+t²=（8-t）²，然后解方程求出t即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDB=∠QBD，
在△POD和△QOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{OD=OB}\\{∠POD=∠QOB}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△QOB；
（2）解：AP=t，PD=AD-AP=8-t，
∵△POD≌△QOB，
∴OP=OQ，
而OD=OB，
∴四边形PBQD为平行四边形，
∴当PB=PD时，四边形PBQD是菱形，
则PB=8-t，
在Rt△ABP中，∵AB²+AP²=PB²，
∴6²+t²=（8-t）²，解得t=$\frac{7}{4}$，
即当t为$\frac{7}{4}$s时，四边形PBQD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．