题目内容

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=10cm，CD=4cm，点P从点A出发，以1.5cm/秒的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/秒的速度沿CD向终点D运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P、Q同时出发并运动了t秒：
（1）当点Q运动到点D时，PQ把梯形分成两个特殊图形是、；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，当四边形DEPQ是矩形时，求t的值；
（3）探索：是否存在这样的t值，使四边形PBCQ的面积是四边形APQD面积的2倍？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）平行四边形、等腰三角形，

理由是：∵当Q到D时，t=4÷1=4，
则AP=1.5×4=6，
∴BP=AB-AP=10-6=4，
∴BP=CD，
∵DC∥AB，
∴四边形CDPB是平行四边形，
∴DP=BC=AD，
∴△DPA是等腰三角形，
故答案为：平行四边形，等腰三角形．

（2）过C作CF⊥AB于F，
则四边形DCFE是矩形，
DC=EF=4，DE=CF，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，BF²=BC²-CF²，
∵AD=BC，
∴AE=BF= $\text{[math]}$ ×（10-4）=3，
当DEPQ是矩形时，DQ=EP，
∴4-t=1.5t-3，
解得t= $\text{[math]}$ （秒）；

（3）存在，
理由是：设梯形ABCD的高为h，Q不与D重合（Q与D重合不符题意），
则四边形PBCQ和APQD都是梯形，
S_梯形PBCQ= $\text{[math]}$ ，
S_梯形APQD= $\text{[math]}$ ，
∴10-0.5t=2（4+0.5t），
解得t= $\text{[math]}$ （秒），
∴存在t，t= $\text{[math]}$ 秒．
分析：（1）求出t，求出AP、BP，根据平行四边形的判定推出即可，得出AD=DP=BC，根据等腰三角形的定义判断即可；
（2）求出AE，QD，EP，根据DQ=EP得出4-t=1.5t-3，求出即可；
（3）分别求出两个梯形的面积，根据题意得出方程，求出t的值即可．
点评：本题考查了等腰梯形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．