Question

20．点C，D分别是△ABO的边AO、OB延长线上的点，AB的延长线交DC于E．
（1）如图1，OA=OC，AB=CD，求证：DE=BE；
（2）如图2，OA=OC，∠C=90°，AC=CD，CE=3DE，求sin∠ABO；
（3）如图3，若BE=DE，$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{3}$，AB=4，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CF∥AE交DO的延长线于F．由△AOB≌△COF，推出AB=CF，由AB=CD，推出CF=CD，推出∠D=∠F=∠ABO，即可解决问题．
（2）如图2中，作OF∥CD交AE于F，EH⊥OD于H．设DE=a．则EC=3a，AC=DC=4a，由OA=OC，FO∥EC，推出AF=EF，FO=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{3a}{2}$，在Rt△AEC中，AE=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}$=5a，推出AF=EF=$\frac{5}{2}a$，由OF∥DE，推出$\frac{BF}{BE}$=$\frac{OF}{DE}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{a}$=$\frac{3}{2}$，推出BE=$\frac{2}{5}$EF=a，由∠D=∠D，∠EHD=∠C=90°，推出△DEH∽△DOC，推出$\frac{DE}{OD}$=$\frac{HE}{OC}$，推出$\frac{a}{2\sqrt{5}a}$=$\frac{HE}{2a}$，推出HE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，根据sin∠ABO=sin∠HBE=$\frac{EH}{BE}$，计算即可．
（3）如图3中，作CF∥AB交DO于F．求出CF的长，只要证明CD=CF即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作CF∥AE交DO的延长线于F．

∵CF∥AB，
∴∠A=∠FCO，∠ABO=∠F，
在△AOB和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOB=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COF，
∴AB=CF，
∵AB=CD，
∴CF=CD，
∴∠D=∠F=∠ABO，
∵∠ABO=∠DBE，
∴∠D=∠DBE，
∴ED=EB．

（2）如图2中，作OF∥CD交AE于F，EH⊥OD于H．设DE=a．则EC=3a，AC=DC=4a，

∵OA=OC，FO∥EC，
∴AF=EF，FO=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{3a}{2}$，
在Rt△AEC中，AE=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}$=5a，
∴AF=EF=$\frac{5}{2}a$，
∵OF∥DE，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{OF}{DE}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{a}$=$\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{2}{5}$EF=a，
∵∠D=∠D，∠EHD=∠C=90°，
∴△DEH∽△DOC，
∴$\frac{DE}{OD}$=$\frac{HE}{OC}$，
∴$\frac{a}{2\sqrt{5}a}$=$\frac{HE}{2a}$，
∴HE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∴sin∠ABO=sin∠HBE=$\frac{EH}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}a}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

（3）如图3中，作CF∥AB交DO于F．

∵AB∥CF，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{2}{3}$，
∵AB=4，
∴CF=6，
∵EB=ED，
∴∠D=∠DBE=∠ABO，
∵∠ABO=∠F，
∴∠D=∠F，
∴CD=CF=6．

点评 本题考查相似三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．