Question

15．爱贝玩具厂开发了一款新型益智玩具，一期计划生产200万件，预计20天后投入市场．该厂有甲、乙、丙三条生产线，由于丙生产线在技术创新升级中，则由甲、乙两条生产线先开始生产加工玩具．甲、乙两条生产线一起生产加工玩具4天后，乙生产线发生故障停止生产，只剩甲生产线单独加工玩具．为了能在规定时间完成任务，丙生产线加快了技术升级，6天后也投入生产．由于丙生产线技术升级后提高了效率，所以提前一天完成加工任务．已知甲、乙两条生产线生产玩具总量y₁（万件）与时间x（天）的关系如图折线段OAB所示，丙生产线生产玩具总量y₂（万件）与时间x（天）的关系如图线段CD所示．
（1）求第5天结束时，生产玩具总量．
（2）求玩具生产总量y（万件）与时间x（天）的函数关系式（注明x 的取值范围）．
（3）直接写出生产第几天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量差为20万件．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象及图象中的数据可以求得第5天结束时，生产玩具总量；
（2）根据题意可以分段求出玩具生产总量y（万件）与时间x（天）的函数关系式；
（3）根据题意可知在丙生产前它们相差20万件和生产后相差20万件两种情况，从而可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
甲的生产效率为：（96-36）÷（19-4）=4万件/天，
则第5天结束时的生产总量为：36+（5-4）×4=40（万件），
答：第5天结束时，生产玩具总量是40万件；
（2）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y=kx，
36=4k，得k=9，
即当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y=9x，
当4＜x＜6时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=36}\\{5a+b=40}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=20}\end{array}\right.$，
即当4＜x＜6时，y与x的函数关系式为y=4x+20，
当6≤x≤19时，丙的工作效率是：104÷（19-6）=8万件/天，
将x=6代入y=4x+20中，得y=44，
则当6≤x≤19时，y与x的函数关系式为：y=（4+8）（x-6）+44=12x-28，
由上可得，y与x的函数关系式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{9x}&{（0≤x≤4）}\\{4x+20}&{（4＜x＜6）}\\{12x-28}&{（6≤x≤19）}\end{array}\right.$；
（3）由题意可得，
将y=20代入y=9x，得x=$\frac{20}{9}$=2$\frac{2}{9}$，
设CD段对应的函数解析式为y=cx+d，
$\left\{\begin{array}{l}{6c+d=0}\\{19c+d=104}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{d=-48}\end{array}\right.$，
即CD段对应的函数解析式为y=8x-48，
∴（4x+20）-（8x-48）=20，
解得，x=12，
∴在第3天和第12天甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量差为20万件，
答：生产第3天和第12天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量差为20万件．

点评 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．