Question

1．如图，已知双曲线y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0），双曲线y₂=-$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＜0）经过M点，且k₂=2k₁．
（1）求双曲线y₁与y₂的解析式；
（2）若平行于x轴的直线l交双曲线y₁于点A，交双曲线y₂于点B，在x轴上存在两点C、D（C点在D点的左侧），使以点A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，周长等于8，求点C，D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把M坐标代入y₂解析式求出k₂的值，确定出y₂解析式，根据k₂=2k₁，求出k₁的值，确定出y₁解析式；
（2）如图所示，设A（a，$\frac{1}{a}$），进而表示出B，C，D坐标，确定出CD与AD的长，表示出矩形ABCD周长，根据周长为8求出a的值，即可确定出满足题意C与D的坐标．

解答 解：（1）把M（-2，1）代入y₂=-$\frac{{k}_{2}}{x}$，得：k₂=2，
∴k₁=1，
则y₁=$\frac{1}{x}$（x＞0），y₂=-$\frac{2}{x}$（x＜0）；
（2）设A坐标为（a，$\frac{1}{a}$），a＞0，可得D（a，0），即OD=a，AD=$\frac{1}{a}$，
把y=$\frac{1}{a}$代入y₂=-$\frac{2}{x}$中，得：x=-2a，即B（-2a，$\frac{1}{a}$），
∴C（-2a，0），即OC=2a，
∴CD=OC+OD=2a+a=3a，
∵矩形ABCD周长为8，
∴2（CD+AD）=8，即CD+AD=4，
∴3a+$\frac{1}{a}$=4，即3a²-4a+1=0，
解得：a=$\frac{1}{3}$或a=1，
当a=$\frac{1}{3}$时，C（-$\frac{2}{3}$，0），D（$\frac{1}{3}$，0）；
当a=1时，C（-2，0），D（1，0），
综上，C（-$\frac{2}{3}$，0），D（$\frac{1}{3}$，0）或C（-2，0），D（1，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．