Question

10．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，D为AB的中点，点P是AB上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：AE=PE；
（2）求证：DE=DF；
（3）连接EF，EF的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先证明∠CAB=45°，∠AEP=90°，从而可得到∠EAP=∠APE，故此AE=EP；
（2）连接CD，由直角三角形斜边上中线的性质可知：CD=AD，然后由等腰三角形三线合一可求得∠DCF=45°，然后由矩形的性质可证得：AE=CF，从而可证明△ADE≌△CDF；
（3）由矩形的性质可知EF=CP，然后由垂线段最短可知CP⊥AB时，CP最短，从而可求得CP的长．

解答 证明：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
在△AEP中，∠APE=180°-90°-45°=45°，
∴∠EAP=∠APE．
∴AE=EP；
（2）连接CD．

∵∠C=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD．
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°．
∴∠A=∠FCD．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠ECF=∠PEC=∠PFC=90°．
∴四边形EPCF是矩形．
∴EP=CF
∵AE=PF
∴AE=CF
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF
∴DE=DF
（3）∵四边形EPCF是矩形
∴EF=CP
∴EF最小时，CP也最小．
由垂线段最短可知：当CP⊥AB时，PC最短．
∴当点P为AB的中点，CP最小．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$
∴EF的最小值=CP=$\frac{1}{2}AB=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查的是矩形的性质和判定、求得三角形的性质和判定、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握相关性质是解题的关键．