Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC为直径的⊙O交AB于D，AC、DO的延长线交于E，点M为线段AC上一点，且CM=4．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）求ED的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：代数几何综合题

分析：（1）利用勾股定理得出AC的长，再利用切线的判定定理得出答案；
（2）首先得出△OCE∽△MDE，则

OC

MD

=

EC

ED

=

3

4

，进而利用EM²=ED²+DM²，求出ED即可．

解答：（1）证明：连结CD，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，
∴AC=8，
∵CM=4，
∴AM=4，
∴M是AC中点，
∵CD⊥AB，
∴DM=CM=AM，
∠MCD=∠MDC，∠OCD=∠ODC，
∴∠ODM=90°，
∴DM是⊙O的切线；

（2）解：∵DM是⊙O的切线，
∴ED⊥DM，
∴∠ECO=∠EDM，
又∵∠E=∠E，
∴△OCE∽△MDE，
∴

OC

MD

=

EC

ED

=

3

4

，
设EC=3x，ED=4x，则EM=3x+4，
EM²=ED²+DM²，
∴（3x+4）²=（4x）²+16，
解得：x=

24

7

，
∴ED=4x=

96

7

．

点评：此题主要考查了切线的判定以及勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识，得出△OCE∽△MDE是解题关键．