Question

如图，在△ABC中，∠A=50°，AB＞AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，BE、CD相交于O点，∠BCD=∠EBC，M为BE上一点，∠OCM=∠OBD．  
（1）求证：CM=CE；
（2）求∠BOC的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）先求出∠BCM=∠CBD，然后利用“ASA”证明△BCM和△CBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CM，再根据BD=CE即可得证；
（2）设∠ABE=x，∠EBC=y，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CEM，再根据等腰三角形的两底角相等表示出∠ECM，然后在△ABC中，利用三角形的内角和定理列式计算求出y，在△OBC中，利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．

解答：（1）证明：∵∠BCD=∠EBC，∠OCM=∠OBD，
∴∠BCD+∠OCM=∠EBC+∠OBD，
即∠BCM=∠CBD，
在△BCM和△CBD中，

∠BCM=∠CBD BC=BC ∠BCD=∠EBC

，
∴△BCM≌△CBD（ASA），
∴BD=CM，
∵BD=CE，
∴CM=CE；

（2）解：设∠ABE=x，∠EBC=y，
∵∠A=50°，
∴∠CEM=∠ABE+∠A=x+50°，
∴∠ECM=180°-2∠CEM=180°-2（x+50°）=80°-2x，
∵∠BCM=∠CBD=x+y，
∴在△ABC中，∠A+∠CBD+∠BCE=180°，
即50°+（x+y）+（x+y+80°-2x）=180°，
整理得，2y=50°，
解得y=25°，
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，（2）解法巧妙，利用三角形内角和定理列式正好消掉x．