Question

12．已知，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P是直角边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系式EQ=FQ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；

解答 解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQF}\\{∠AEQ=∠BFQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AEQ≌△BFQ，
∴EQ=FQ，
故答案为：AE∥BF，EQ=FQ；
（2）QE=QF，
证明：如图2，延长EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQD}\\{∠AEQ=∠BDQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中．