Question

3．四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点（与B、C不重合）．点F在正方形外角∠DCG的平分线CH上，且AE=EF．求证：∠AEF=90°．

Answer 1

分析 如图，在BA上截取BP=BE，作AM⊥EP于M，延长PE交FC的延长线于N．首先证明△APM≌△CEN，推出AM=EN，再证明△AEM≌△EFN，推出∠AEM=∠EFN，由∠EFN+∠FEN=90°，推出∠AEM+∠FEN=90°，由此即可解决问题．

解答 解：如图，在BA上截取BP=BE，作AM⊥EP于M，延长PE交FC的延长线于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=∠DCG=90°，
∵PB=BE，
∴∠BPE=∠BEP=45°，AP=EC，
∵CH平分∠DCG，
∴∠ECN=∠FCG=45°，∵∠PEB=∠CEN=45°，
∴∠N=90°=∠M，∠APM=∠BPE=45°，
在△APM和△ECN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N=90°}\\{∠APM=∠CEN}\\{AP=EC}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△CEN，
∴AM=EN，
在Rt△AEM和Rt△EFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{AM=EN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△EFN，
∴∠AEM=∠EFN，
∵∠EFN+∠FEN=90°，
∴∠AEM+∠FEN=90°，
∴∠AEF=90°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．